Выигрышная стратегия

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой произведение числа камней в кучах будет 123 или более. В начальный момент в первой куче было 3 камня, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19

Найдите максимальное значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Задание 20

Найдите два наибольших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: • Петя не может выиграть за один ход; • Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения укажите в порядке возрастания.

Задание 21

Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия: • у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; • у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.