Выигрышная стратегия

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 211. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 211 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 210. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20

Найдите наибольшее и наименьшее значения S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21

Найдите минимальное S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может гарантированно выиграть за один ход или за два хода; − Петя может выиграть своим третьим ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.