ЕГЭ 16 · Рекуррентные выражения
Вычисление рекурсивной функции
Функции F(n) и G(n), где n – натуральное число, заданы следующими
соотношениями:
F(n) = n, если n > 1 000 000;
F(n) = n + F(2n), если n ≤ 1 000 000;
G(n) = F(n) / n.
Сколько существует таких натуральных чисел n (включая число 1000), для которых G(n) = G(2000)?
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Идея решения
Искомая величина: Сколько существует таких натуральных чисел n (включая число 1000), для которых G(n) = G(2000)?
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Если переходы используют меньшие аргументы, заполняйте значения по возрастанию от базовой области. При повторных обращениях используйте сохранённый результат: это позволяет избежать многократного обхода одних и тех же ветвей рекурсии.
Значения F и G храните раздельно. При взаимных вызовах состоянием является и имя функции, и аргумент: F(n) и G(n) не взаимозаменяемы. Вложенный аргумент сначала вычисляется, затем передаётся внешнему вызову.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 1953.