ЕГЭ 16 · Рекуррентные выражения
Вычисление рекурсивной функции
(А.Богданов) Обозначим частное от деления целого числа a на натуральное число b как a // b, остаток как a % b, а округление до целого в меньшую сторону как ЦЕЛОЕ(). Алгоритм вычисления функции F(n), где n – неотрицательное число, задан следующими соотношениями:
F(n) = 0 при n = 0;
F(n) = F(n//10), если n>0 и n% 10 = 0;
F(n) = F(n-1) – 1, если n>0 и n% 10>0 и ЦЕЛОЕ(lg(n)) чётно;
F(n) = F(n-1) + 1, если n>0 и n% 10>0 и ЦЕЛОЕ(lg(n)) нечётно;
Определите количество значений n, не превышающих 10^6, для которых F(n) = 0?
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Идея решения
Искомая величина: Определите количество значений n, не превышающих 10^6, для которых F(n) = 0?
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Если переходы используют меньшие аргументы, заполняйте значения по возрастанию от базовой области. При повторных обращениях используйте сохранённый результат: это позволяет избежать многократного обхода одних и тех же ветвей рекурсии.
Чётность проверяйте для текущего аргумента каждого вызова. Переход на n−1 меняет чётность, переход на n−2 сохраняет её; нельзя продолжать раскрытие одной и той же ветвью только потому, что исходный аргумент был чётным.
Значения F и G храните раздельно. При взаимных вызовах состоянием является и имя функции, и аргумент: F(n) и G(n) не взаимозаменяемы. Вложенный аргумент сначала вычисляется, затем передаётся внешнему вызову.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 55252.