Выигрышная стратегия

(Д. Бахтиев) Два игрока, Полина и Вероника, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может уменьшить количество камней в одной из куч в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается) или убрать из одной из куч пять камней, при этом два камня перекладываются в соседнюю кучу, а оставшиеся три выбрасываются в океан несбывшихся надежд. Например, пусть в одной куче 10, а в другой 15 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 15). За один ход из позиции (10, 15) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 17), (12, 10), (10, 7) и (5, 15). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 69. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 69 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 35 камней, во второй куче – S камней, S > 50.

Задание 19

Укажите максимальное значение S, при котором Полина не может выиграть за один ход, но при любом ходе Полины Вероника может выиграть своим первым ходом.

Задание 20

Найдите минимальное и максимальное значения S, при котором у Полины есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Полина не может выиграть за один ход;

− Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вероника.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21

Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вероники есть выигрышная стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины;

– у Вероники нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.