ЕГЭ 16 · Рекуррентные выражения
Вычисление рекурсивной функции
(Д. Статный) Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, заданное следующими соотношениями:
F(n)=n, если n<10.
F(n)=F(n% 10)+F(n//10), если n - чётное число.
F(n) = F(10^n) + F(n% 10) - 2, в других случаях.
Сколько существует значений n, меньших 1011, для которых F(n)=0?
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Идея решения
Искомая величина: Сколько существует значений n, меньших 10^{11}, для которых F(n)=0?
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Если переходы используют меньшие аргументы, заполняйте значения по возрастанию от базовой области. При повторных обращениях используйте сохранённый результат: это позволяет избежать многократного обхода одних и тех же ветвей рекурсии.
Чётность проверяйте для текущего аргумента каждого вызова. Переход на n−1 меняет чётность, переход на n−2 сохраняет её; нельзя продолжать раскрытие одной и той же ветвью только потому, что исходный аргумент был чётным.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 11111111100.