Подтема 5 из 5 · дополнительный урок
Дополнительные условия
Условие о длинах или номерах отбирает вариант; кратчайший путь после сопоставления.
Сравнение длин
Это дополнительный урок: такие задачи редки, а задачи основных подтем решаются без него. Если в задаче темы спросить длину дороги A—E, ответить нельзя: в одном варианте 21 км, в другом 5. Что может помочь?
Дополнительное условие, например: «дорога A—F длиннее дороги C—F». Его проверяют в каждом варианте и оставляют те, где оно выполняется. В варианте 1 (A ↔ 2, C ↔ 6) дорога A—F — это 2—1, 39 км, а C—F — 6—1, 30 км: 39 больше 30, условие выполнено. В варианте 2 (A ↔ 6, C ↔ 2) всё наоборот: A—F — 30 км, C—F — 39 км, и условие неверно.
Остаётся вариант 1, и дорога A—E — это 2—3, 21 км. Сравнивают только числа таблицы: длина линий на рисунке ничего не значит.
Так же работают условия о номерах: «номер пункта E меньше номера пункта B» в варианте 1 верно (3 меньше 4), в варианте 2 — нет (4 больше 3).
Кратчайший путь
Иногда после сопоставления спрашивают кратчайший путь между двумя пунктами. Как его найти?
Перенести длины из таблицы на схему и сравнить маршруты. Длина маршрута — сумма длин его дорог, и короче не всегда тот, где дорог меньше. Найдём кратчайший путь из F в E в задаче темы, если номер E меньше номера B. Это условие оставляет вариант 1: E ↔ 3, B ↔ 4.
| Маршрут | Дороги | Длина, км |
|---|---|---|
| F → A → E | 39 + 21 | 60 |
| F → D → E | 53 + 3 | 56 |
| F → C → B → E | 30 + 5 + 8 | 43 |
| F → C → B → D → E | 30 + 5 + 13 + 3 | 51 |
| F → D → B → E | 53 + 13 + 8 | 74 |
Ответ: 43. В варианте 2 кратчайший путь был бы другим — F → A → E, 30 + 5 = 35 км. Поэтому без условия о номерах задача не имела бы одного ответа.
Итого
- Условие о длинахпереведи буквы в номера и проверь в каждом варианте
- Длины линий рисункане сравнивают: только числа таблицы
- Условие о номерах«номер E меньше номера B» тоже отбирает вариант
- Длина маршрутасумма длин его дорог
- Кратчайший путьсравни маршруты; меньше дорог — не значит короче
- Задача темыA—E = 21 при A—F длиннее C—F; путь F → E — 43
Проверьте себя
Ответь сначала сам, потом открой ответ.
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
Практика
Для проверки ответов нужен JavaScript. Условия, подсказки и решения доступны ниже.
Номер A по сравнению длин
Симметричной паре {A, B} соответствуют номера 3 и 5, пункту C — номер 1. Дорога 3—1 длиной 14 км, дорога 5—1 — 9 км. Известно, что дорога A—C длиннее дороги B—C. Найди номер пункта A.
Введите число.
Подсказка
Проверь сравнение для каждого варианта.
Решение
A ↔ 3: при A ↔ 3 сравнение — 14 > 9, верно; при A ↔ 5 — 9 > 14, неверно.
Ответ: 3
Длина дороги А—Б при сравнении
На рисунке схема дорог, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах). Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Известно, что дорога Б—Г короче дороги В—Г. Определи длину дороги из пункта А в пункт Б.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 11 | 9 | ||||
| 2 | 13 | 12 | 7 | |||
| 3 | 13 | 10 | ||||
| 4 | 11 | |||||
| 5 | 9 | 12 | 8 | |||
| 6 | 7 | 10 | 8 |
Введите число.
Подсказка
Сравнение длин различает симметричные Б и В.
Решение
10: Е ↔ 4, Д ↔ 1, Г ↔ 5, А ↔ 3; Б и В симметричны, им соответствуют 6 и 2. Дорога Б—Г короче: 6—5 — 8 км, 2—5 — 12 км, значит, Б ↔ 6; А—Б — дорога 3—6, 10 км.
Ответ: 10
Кратчайший путь из B в D
На рисунке схема дорог изображена в виде графа, в таблице — протяжённость каждой из этих дорог (в километрах). Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Определи длину кратчайшего пути из пункта B в пункт D, если известно, что номер пункта D меньше номера пункта E.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 16 | ||||
| 2 | 5 | 10 | ||||
| 3 | 3 | 12 | ||||
| 4 | 9 | 3 | 6 | |||
| 5 | 5 | 4 | ||||
| 6 | 16 | 10 | 12 | 6 | 4 |
Введите число.
Подсказка
Сначала по условию выбери номер D, потом сравни прямую дорогу и путь через F.
Решение
B — единственный пункт степени 5, это 6; F — единственный степени 3, это 4. D и E соединены с одними и теми же пунктами — B и F, их номера 1 и 3; номер D меньше, значит, D ↔ 1. Из B в D прямая дорога 6—1 — 16 км, а через F: 6—4—1 — 6 + 9 = 15 км. Кратчайший путь — 15 км.
Ответ: 15