Координатная плоскость

Что меняется, когда в формуле две переменные — x и y? Например:

«Для какого наименьшего целого A формула (x ≥ 12) ∨ (y > 5) ∨ (A > x · y) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых натуральных x и y?»

Пара (x; y) — точка на клетчатой плоскости. Точки, где ложны все части без A, образуют область, и в каждой её точке часть с A обязана быть истинной.

Части без A ложны, когда x < 12 и y ≤ 5. Для натуральных чисел это x от 1 до 11 и y от 1 до 5 — прямоугольник из 55 точек. В каждой из них нужно A > x · y.

A должно быть больше x · y во всех этих точках — значит, больше самого большого произведения. Оба числа положительные, поэтому произведение наибольшее при самых больших x и y: 11 · 5 = 55. Нужно A > 55, наименьшее целое A = 56.

Как найти наибольшее значение, если область — не прямоугольник? Возьмём формулу (2x + 3y ≥ 30) ∨ (x + 2y < A) и найдём наименьшее целое A для натуральных x и y.

Перебирают x и для каждого берут самый большой допустимый y: выражение, которое растёт вместе с y, наибольшее на верхнем краю области.

Всё решает A в точках, где 2x + 3y < 30. Для каждого x найдём самый большой y и значение x + 2y:

Выгоднее маленький x и большой y: в x + 2y игрек идёт с множителем 2. Наибольшее значение 19, нужно 19 < A — наименьшее A = 20.

Почему ответ часто на единицу отличается от «очевидного»?

Для целых чисел строгий знак сдвигает границу на единицу: x < 12 — это x ≤ 11, а A > 30 — это A ≥ 31. Нестрогий знак границу оставляет: x ≥ 12 включает и само 12.

Пример: (y > 10) ∨ (x > y) ∨ (2x + y < A), x и y — натуральные, нужно наименьшее A. Всё решает A, когда y ≤ 10 и x ≤ y — точки не выше 10 и не правее диагонали x = y.

Наибольшее 2x + y — в точке (10; 10): 30. Знак строгий: нужно 30 < A, поэтому A = 30 не подходит — в точке (10; 10) формула ложна. Наименьшее A = 31.

Что, если A должно быть меньше выражения? Пример: (x ≥ 8) ∨ (A < x · y) ∨ (y ≤ 7), x и y натуральные, нужно наибольшее A.

Тогда A должно быть меньше выражения во всех точках области — и ищут наименьшее значение выражения.

Всё решает A, когда x ≤ 7 и y ≥ 8. Сверху область не ограничена, но это не мешает: наименьшее x · y — в точке (1; 8), оно равно 8. Нужно A < 8, наибольшее A = 7.

Сравни с первой задачей подтемы: там A было больше x · y, и всё решало самое большое произведение. Здесь A меньше — решает самое маленькое.

Как быть, если A стоит множителем при переменной? Пример: (y ≥ 10) ∨ (A · x ≥ 2y + 5), x и y натуральные, нужно наименьшее целое A.

Сначала выясняют знак A, потом ищут самую трудную точку: где левая часть меньше всего, а правая — больше всего.

Всё решает A, когда y ≤ 9, а x — любое натуральное. Если A ≤ 0, то A · x ≤ 0, а 2y + 5 положительно — формула ложна. Значит, A > 0, и тогда A · x меньше всего при x = 1. Правая часть больше всего при y = 9: 2 · 9 + 5 = 23.

Нужно A · 1 ≥ 23, наименьшее A = 23. Проверка: при A = 23 и любом x ≥ 1 левая часть не меньше 23, а правая при y ≤ 9 не больше 23.

Как решить такую задачу программой?

Так же, как задачу темы, только перебирают пары x и y — двумя циклами внутри all(...). Первая задача подтемы:

def f(x, y, A):    return x >= 12 or y > 5 or A > x * y  for A in range(-100, 1000):    if all(f(x, y, A) for x in range(1, 100) for y in range(1, 100)):        print(A)        break

x и y — до 99 с запасом: все числа условия меньше 12. A перебираем начиная с отрицательных: заранее неизвестно, что ответ больше нуля. Нужно наименьшее A, поэтому печатаем первое подходящее и останавливаемся — break.

• Точкапара (x; y) на клетчатой плоскости
• Областьточки, где все части без A ложны
• A больше выражениянаибольшее значение в области — наименьшее A
• A меньше выражениянаименьшее значение в области — наибольшее A
• Не прямоугольникдля каждого x — самый большой y
• Строгий знакграница сдвигается на 1
• Pythonдва цикла внутри all, A с запасом в обе стороны