Цифры и знак числа

В задаче темы порог — максимальный элемент, оканчивающийся на 25. Среди восьми чисел темы так оканчиваются 125, −325 и 2025. Как проверить окончание программой?

Две последние цифры числа — остаток от деления его модуля на 100: abs(x) % 100 == 25. У положительного числа модуль не нужен: 2025 = 20 · 100 + 25, и при делении на 100 в остатке остаются две последние цифры. Но у −325 остаток без модуля другой:

print(2025 % 100, -325 % 100, abs(-325) % 100)

Почему −325 % 100 = 75? Python отсчитывает остаток от ближайшего кратного 100 слева, а для −325 это −400:

Поэтому окончание всегда проверяют у модуля. Другие окончания проверяют так же — меняется только делитель:

оканчивается на 3

abs(x) % 10 == 3

оканчивается на 25

abs(x) % 100 == 25

оканчивается на 123

abs(x) % 1000 == 123

последние цифры двух чисел совпадают

abs(x) % 10 == abs(y) % 10

Значит, модуль нужен везде?

Нет: модуль нужен для цифр записи. Условие про остаток от деления проверяют у самого числа. «Остаток от деления числа на 5 равен 2» — это x % 5 == 2. Для −8 условие выполнено: −8 = (−2) · 5 + 2. А с модулем получится другой остаток:

print(-8 % 5, abs(-8) % 5)

Проверка делимости тоже обходится без модуля: -1250 % 25 равно 0, и −1250 кратно 25.

Как проверить, что число трёхзначное, пятизначное или двузначное?

Количество цифр проверяют границами модуля — так же, как четырёхзначные числа в задаче темы. Трёхзначное число по модулю лежит от 100 до 999, и −325 тоже трёхзначное:

двузначное

10 <= abs(x) <= 99

трёхзначное

100 <= abs(x) <= 999

пятизначное

10000 <= abs(x) <= 99999

положительное трёхзначное

100 <= x <= 999

отрицательное трёхзначное

-999 <= x <= -100

Цифры можно посчитать и через текст: str превращает число в строку, а len считает её символы. Но у отрицательного числа в строке есть минус:

print(len(str(-325)), len(str(abs(-325))))

Границы короче и не ошибаются на минусе, поэтому в решениях берут их.

А если нужна не последняя цифра, а предпоследняя или первая?

Сначала отбрасывают младшие цифры делением //, потом берут последнюю цифру того, что осталось. Для −325: модуль 325, 325 // 10 = 32, и последняя цифра 32 — 2. Это предпоследняя цифра −325. Первую цифру удобно взять из записи: str(m)[0] — первый символ строки.

m = abs(-325)print(m % 10, m // 10 % 10, str(m)[0])

Условие «две последние цифры одинаковы» требует, чтобы цифр было хотя бы две: m >= 10 and m % 10 == m // 10 % 10. Без первой проверки подошло бы и число 5.

Как проверить «ровно одно число пары отрицательное»?

Ноль не положительный и не отрицательный, поэтому знак проверяют сравнением с нулём: x > 0, x < 0. «Ровно одно отрицательное» — количество из подтемы 3: int(x < 0) + int(y < 0) == 1. Пара (−8, 0) подходит: отрицательное в ней одно. А проверка x * y < 0 на ней не выполнена — произведение равно нулю:

x = -8y = 0print(int(x < 0) + int(y < 0) == 1, x * y < 0)

x * y < 0 проверяет другое: одно число строго положительное, а другое строго отрицательное.

По знаку произведения трёх чисел нельзя судить и о том, одного ли они знака: у −2, −3, 5 произведение положительное. «Все одного знака» проверяют так: все три положительные или все три отрицательные — min(x, y, z) > 0 or max(x, y, z) < 0.

• Окончаниеabs(x) % 100 == 25; -325 % 100 равно 75
• Остатокбез модуля: «остаток от деления на 5 равен 2» — x % 5 == 2
• Количество цифр100 <= abs(x) <= 999
• Цифра в разрядепредпоследняя — m // 10 % 10, первая — str(m)[0]
• Знакноль ни положительный, ни отрицательный; x * y < 0 — разные знаки