Подтема 5 из 6
Наклонные стороны
Фигуры с наклонными сторонами: углы поворота, счёт по столбцам и спорные точки.
Наклонные стороны
Черепаха из (0; 0) вверх выполняет «Повтори 7 [Вперёд 8 Направо 120]». Сколько целочисленных точек строго внутри фигуры?
Наклонную сторону трудно нарисовать от руки точно, поэтому такую фигуру строят программой и считают точки по столбцам.
Три повторения рисуют равносторонний треугольник со стороной 8, остальные четыре идут по нему же. Две вершины целые: (0; 0) и (0; 8). Третья лежит справа на уровне y = 4, на расстоянии 4√3 ≈ 6,93 от оси: её координата x нецелая, хотя все длины в командах целые.
Тонкости:откуда 4√3
Третья вершина одинаково удалена от (0; 0) и (0; 8), поэтому она на высоте 4. Её удаление h от оси — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 и другим катетом 4: h² + 4² = 8², h = √48 = 4√3.
Поворот и угол фигуры
Черепаха поворачивает не на угол фигуры, а на 180° минус этот угол. Она приходит по одной стороне и поворачивает от направления «прямо».
Поэтому «Повтори 3 [Вперёд 8 Направо 120]» рисует равносторонний треугольник, а «Направо 60» дало бы другую фигуру. При обходе правильного многоугольника с n сторонами все повороты в сумме дают 360°, и каждый равен 360° / n: у треугольника 120°, у квадрата 90°, у шестиугольника 60°.
Счёт по столбцам
В каждом столбце x = 1, 2, … считают целые y между нижней и верхней сторонами. Для треугольника со стороной 8:
| x | Целые y строго внутри | Точек |
|---|---|---|
| 1 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | 7 |
| 2 | 2, 3, 4, 5, 6 | 5 |
| 3 | 2, 3, 4, 5, 6 | 5 |
| 4 | 3, 4, 5 | 3 |
| 5 | 3, 4, 5 | 3 |
| 6 | 4 | 1 |
Столбца x = 7 нет: он правее вершины 6,93. Всего 7 + 5 + 5 + 3 + 3 + 1 = 24.
Точки на наклонной стороне
Лежит ли точка на наклонной стороне, проверяют по координатам, а не по рисунку.
На вертикальной стороне треугольника 9 целых точек: (0; 0), …, (0; 8). На наклонных сторонах других целых точек нет: нижняя сторона лежит на прямой y = x / √3, и при целом x, кроме 0, y нецелое. Поэтому вместе с границей у треугольника 24 + 9 = 33 точки.
Но наклонная сторона может и проходить через целые точки. Квадрат, повёрнутый на 45°, лежит сторонами на прямых y = x и y = −x, и на них есть точки (1; 1), (2; 2), (1; −1)…
Если точка на рисунке кажется лежащей на линии, подставь её в уравнение стороны: точка (2; 2) лежит на y = x, а (2; 3) — выше неё.
Параллелограмм
Повороты 60° и 120° дают параллелограмм, а не прямоугольник: считай по рисунку, а не по привычной форме.
«Повтори 4 [Вперёд 6 Направо 60 Вперёд 6 Направо 120]» из (0; 0) вверх за одно повторение рисует две стороны и поворачивает на 60° + 120° = 180°, за два — замыкает ромб со стороной 6. Третье и четвёртое повторения идут по нему же.
По столбцам x = 1, …, 5 строго внутри по 6 точек: нижняя и верхняя границы сдвигаются, а длина столбца та же. Всего 5 · 6 = 30.
Итого
- Поворот180° минус угол фигуры; у правильного n-угольника 360° / n
- Вершинымогут быть нецелыми: (4√3; 4) ≈ (6,93; 4)
- По столбцамв каждом x — целые y между сторонами
- Спорная точкаподставить в уравнение стороны
- Не округлять6,93 не превращать в 7
Проверьте себя
Ответь сначала сам, потом открой ответ.
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
Практика
Для проверки ответов нужен JavaScript. Условия, подсказки и решения доступны ниже.
Поворот правильного восьмиугольника
На какой угол поворачивает Черепаха на каждом шаге обхода правильного восьмиугольника?
Введите число.
Подсказка
За полный обход повороты в сумме дают 360°.
Решение
Восемь одинаковых поворотов дают 360°, поэтому каждый 360° / 8 = 45°.
Ответ: 45
Треугольник со стороной 10
Черепахе был дан для исполнения алгоритм «Повтори 3 [Вперёд 10 Направо 120]». Голова в начале направлена вверх, хвост опущен. Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией. Точки на линии учитывать не следует.
Введите число.
Подсказка
Третья вершина — (5√3; 5) ≈ (8,66; 5); считай по столбцам x = 1…8.
Решение
Получается равносторонний треугольник со стороной 10 и вершинами (0; 0), (0; 10), (8,66; 5). По столбцам x = 1…8 строго внутри 9, 7, 7, 5, 5, 3, 1, 1 точек — всего 38.
Ответ: 38
Треугольник по столбцам
Черепаха находится в начале координат, голова направлена вверх, хвост опущен. Ей дали алгоритм:
Повтори 5 [ Вперёд 6 Направо 120]Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией. Точки на линии учитывать не следует.
Введите число.
Подсказка
Пятое повторение идёт по уже нарисованным сторонам; считай по столбцам.
Решение
Три повторения рисуют треугольник со стороной 6, остальные идут по нему же. Третья вершина (3√3; 3) ≈ (5,2; 3). По столбцам x = 1…5 строго внутри 5, 3, 3, 1, 1 точек — всего 13.
Ответ: 13
Точки прямоугольного треугольника
Треугольник имеет вершины (0; 0), (6; 0), (0; 5). Сколько целочисленных точек лежит строго внутри него?
Введите число.
Подсказка
Считай по столбцам: при каждом x — целые y под наклонной стороной.
Решение
Наклонная сторона идёт из (6; 0) в (0; 5): y = 5 − 5x / 6. При x = 1 подходят y = 1…4, при x = 2 — 1…3, при x = 3 — 1 и 2, при x = 4 — только 1, при x = 5 — ни одного (y < 0,84). Всего 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Ответ: 10
Точки на наклонном отрезке
Сколько целочисленных точек лежит на отрезке от (0; 0) до (6; 4), включая концы?
Введите число.
Подсказка
Отрезок лежит на прямой y = 2x / 3: проверь, при каких целых x значение y целое.
Решение
На отрезке y = 2x / 3 при 0 ≤ x ≤ 6. Целое y получается только при x = 0, 3, 6: точки (0; 0), (3; 2), (6; 4).
Ответ: 3
Квадрат, повёрнутый на 45°
Черепахе был дан для исполнения алгоритм «Повтори 4 [Направо 45 Вперёд 6 Направо 45]». Голова в начале направлена вверх, хвост опущен. Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией, включая точки на линии.
Введите число.
Подсказка
Две стороны квадрата лежат на прямых y = x и y = −x.
Решение
Получается квадрат, повёрнутый на 45°, с вершинами (0; 0), (4,24; 4,24), (8,49; 0), (4,24; −4,24). Строго внутри по столбцам x = 1…8: 1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1 — 32 точки. На сторонах y = x и y = −x ещё 9 точек от (0; 0) до (4; 4) и (4; −4), на двух других сторонах целых точек нет. Всего 32 + 9 = 41.
Ответ: 41
Параллелограмм с поворотом 60°
Черепахе был дан для исполнения алгоритм «Повтори 2 [Вперёд 9 Направо 60 Вперёд 6 Направо 120]». Голова в начале направлена вверх, хвост опущен. Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией. Точки на линии учитывать не следует.
Введите число.
Подсказка
Вторая вертикальная сторона лежит на нецелом x.
Решение
Получается параллелограмм: две вертикальные стороны длиной 9 и две наклонные длиной 6. Вторая вертикальная сторона лежит на x = 3√3 ≈ 5,2, поэтому столбцы x = 1…5. В каждом строго внутри по 9 точек: 5 · 9 = 45.
Ответ: 45
Точки на линии параллелограмма
Черепахе был дан для исполнения алгоритм «Повтори 2 [Вперёд 9 Направо 60 Вперёд 6 Направо 120]». Голова в начале направлена вверх, хвост опущен. Определи, сколько точек с целочисленными координатами лежит на нарисованной линии.
Введите число.
Подсказка
Проверь каждую сторону: на какой из них координаты точек целые?
Решение
На вертикальной стороне x = 0 лежат точки (0; 0), …, (0; 9) — 10 штук. Вторая вертикальная сторона лежит на x = 3√3 ≈ 5,2, а на наклонных сторонах при целом x координата y нецелая. Всего 10.
Ответ: 10
Наклонный ромб
Черепаха находится в начале координат, голова направлена вправо, хвост опущен. Ей дали алгоритм:
Повтори 4 [ Вперёд 6 Направо 150 Вперёд 6 Направо 30]Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией. Точки на линии учитывать не следует.
Введите число.
Подсказка
Фигура лежит ниже оси x: сетке нужны отрицательные y.
Решение
Повороты 150° и 30° дают ромб: горизонтальные стороны длиной 6 на уровнях y = 0 и y = −3 и наклонные стороны между ними. Строго внутри — два ряда при y = −1 и y = −2, в каждом по 6 точек: 12.
Ответ: 12