Подтема 2 из 6
Точки внутри и на границе
Сколько целых точек внутри фигуры и на её границе — и чем это отличается от площади и периметра.
Что спрашивает вопрос
Возьмём первую фигуру задачи темы — прямоугольник 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 6. Сколько в нём точек с целочисленными координатами?
Ответ зависит от того, учитывают ли точки на линиях: у одной фигуры это два разных числа.
Точка с целочисленными координатами — точка, у которой обе координаты целые: (0; 0), (3; 5), (−2; 4). Точка (1,5; 2) не подходит. Все такие точки образуют на плоскости ровную сетку — её называют целочисленной решёткой.
| В условии | Что считать |
|---|---|
| внутри области; точки на линии не учитывать | строго внутри |
| внутри области и на её границе; точки на линии учитывать | внутри вместе с границей |
| площадь области | сколько единичных квадратов она занимает |
| периметр области | длину её границы |
Внутри и на границе
Граница фигуры — нарисованные линии; вершины тоже лежат на границе. Каждая целая точка либо строго внутри фигуры, либо на её границе, либо снаружи.
На рисунке линия толстая, а точка — кружок, и кажется, что кружок «задевает» линию. Но в задаче у линии нет толщины: точка лежит на границе, только если её координаты точно попадают на сторону: например, на правую сторону — при x = 8 и 0 ≤ y ≤ 6.
Подсчёт по рядам
Точки удобно считать рядами: в каждом ряду их одинаково, и остаётся умножить.
Строго внутри прямоугольника 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 6 подходят x = 1, …, 7 и y = 1, …, 5: пять рядов по 7 точек, 7 · 5 = 35. Вместе с границей подходят x = 0, …, 8 — девять значений — и y = 0, …, 6 — семь: 9 · 7 = 63. Только на границе 63 − 35 = 28 точек.
На стороне длиной a лежит a + 1 целая точка вместе с концами и a − 1 без концов. У отрезка от 0 до 8 восемь единичных промежутков и девять концов у них: 0, 1, …, 8.
Тонкости:формулы для прямоугольника a × b
Если стороны идут вдоль осей и вершины целые, то строго внутри (a − 1)(b − 1) точек, вместе с границей (a + 1)(b + 1), на границе 2a + 2b. Последнее видно и напрямую: две стороны по a + 1 точке, две по b + 1, и четыре вершины посчитаны дважды: 2(a + 1) + 2(b + 1) − 4 = 2a + 2b.
Для наклонных сторон эти формулы не работают: там считают по столбцам (подтема 5).
Площадь и периметр
Площадь и периметр — не число точек. Площадь — это сколько единичных квадратов занимает фигура, периметр — длина её границы. Для прямоугольника 8 × 6:
| Что найти | Расчёт | Ответ |
|---|---|---|
| Точки строго внутри | 7 · 5 | 35 |
| Точки вместе с границей | 9 · 7 | 63 |
| Площадь | 8 · 6 | 48 |
| Периметр | 2 · (8 + 6) | 28 |
Повторный обход контура ничего из этого не меняет: фигура та же.
Тонкости:точки на границе и периметр
У прямоугольника 8 × 6 на границе 28 точек и периметр тоже 28. Это совпадение только для сторон вдоль осей с целыми вершинами: у наклонной стороны длиной 5 от (0; 0) до (3; 4) целых точек всего две — её концы.
Незамкнутая линия
Если линия не замкнулась, области у неё нет: спрашивают только о точках на самой линии.
«Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 3» из (0; 0) вверх рисует три стороны прямоугольника 4 × 3 — без нижней. Точки считаем по отрезкам, не повторяя общие концы: на левой стороне 4, на верхней ещё 4, на правой ещё 3 — всего 11. Дорисовывать недостающую сторону нельзя: в условии её нет.
Итого
- Целая точкаобе координаты целые
- Строго внутриточки на линиях и в вершинах не считают
- С границейлинии и вершины тоже считают
- Сторона aa + 1 точка с концами, a − 1 без концов
- Площадь, периметрдругие величины: у 8 × 6 это 48 и 28
Проверьте себя
Ответь сначала сам, потом открой ответ.
Черепаха в (0; 0), голова вверх, хвост опущен:
Повтори 3 [ Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90]Сколько целочисленных точек строго внутри фигуры?
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
Практика
Для проверки ответов нужен JavaScript. Условия, подсказки и решения доступны ниже.
Квадрат при старте вправо
Черепаха находится в начале координат, голова направлена вправо, хвост опущен. Ей дали алгоритм:
Повтори 4 [ Вперёд 3 Налево 90]Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией, включая точки на линии.
Введите число.
Подсказка
Квадрат 3 × 3: на каждой его стороне 4 точки вместе с концами.
Решение
Черепаха идёт вправо и поворачивает налево — получается квадрат 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3. Вместе с границей x и y принимают по 4 значения: 4 · 4 = 16.
Ответ: 16
Квадрат с границей
Черепаха находится в начале координат, голова направлена влево. Ей дали алгоритм «Повтори 4 [Вперёд 5 Налево 90]». Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией, включая точки на линии.
Введите число.
Подсказка
Направление и повороты решают, где лежит квадрат, но не меняют число точек.
Решение
Черепаха идёт влево и поворачивает налево — получается квадрат −5 ≤ x ≤ 0, −5 ≤ y ≤ 0. Вместе с границей x и y принимают по 6 значений: 6 · 6 = 36.
Ответ: 36
Прямоугольник, обойдённый трижды
Черепахе был дан для исполнения алгоритм «Повтори 6 [Вперёд 11 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90]». Голова в начале направлена вверх, хвост опущен. Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией. Точки на линии учитывать не следует.
Введите число.
Подсказка
Повторный обход идёт по тем же линиям и не меняет область.
Решение
Два повторения обходят прямоугольник шириной 6 и высотой 11, шесть — тот же прямоугольник трижды. Строго внутри x = 1…5 и y = 1…10: 5 · 10 = 50.
Ответ: 50
Точки на границе прямоугольника
Прямоугольник 9 × 4 расположен сторонами вдоль осей, его вершины — точки с целочисленными координатами. Сколько целочисленных точек лежит на его границе?
Введите число.
Подсказка
Посчитай точки вместе с границей и вычти точки строго внутри.
Решение
Вместе с границей (9 + 1)(4 + 1) = 50 точек, строго внутри (9 − 1)(4 − 1) = 24. На границе 50 − 24 = 26.
Ответ: 26
Точки незамкнутой линии
Черепаха находится в начале координат, голова направлена вверх. Ей дали алгоритм «Вперёд 2 Направо 90 Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 2». Сколько различных точек с целочисленными координатами лежит на нарисованной линии?
Введите число.
Подсказка
Общий конец соседних отрезков считай один раз.
Решение
На левой стороне точки (0; 0), (0; 1), (0; 2) — три. На верхней ещё 5: её левый конец уже посчитан. На правой ещё 2. Всего 3 + 5 + 2 = 10.
Ответ: 10