Подтема 3 из 5
Одинаковые степени
Если степени не выделяются: смотрим на соседей — их степени и связи между ними.
Степени соседей
Вернёмся к задаче темы. У B, D, E и F по три дороги, у пунктов 1, 3, 4 и 5 — тоже. Как их различить?
Нужно посмотреть на соседей. У пунктов одной степени соседи бывают разными, а у буквы и её номера они одинаковые — с теми же степенями и теми же связями. Выпишем соседей F и D и их степени:
Теперь таблица. Пункты степени 2 — это 2 и 6. Пункт 1 соединён с обоими, как F, — значит, F ↔ 1. У пункта 5 соседи 1, 3 и 4, все со степенью 3, как у D, — значит, D ↔ 5.
А у B и E окружение одинаковое: каждая соединена с одним пунктом степени 2, с D и друг с другом. У пунктов 3 и 4 — то же самое, поэтому различить их так и не получится. Почему — разберём в следующей подтеме.
Связи соседей
А если совпали и степени пунктов, и степени их соседей?
Тогда смотрят, связаны ли соседи между собой. Три пункта, соединённые попарно, образуют треугольник — и у их номеров в таблице дороги будут те же три. Возьмём схему, в которой нет ни одной единственной степени:
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 7 | 16 | ||||
| 2 | 11 | 14 | |||||
| 3 | 11 | 6 | 13 | ||||
| 4 | 9 | 14 | |||||
| 5 | 7 | 6 | 8 | ||||
| 6 | 13 | 8 | 10 | ||||
| 7 | 16 | 10 |
Среди точек степени 2 A и B соединены друг с другом, а E — ни с одной из них. Среди точек степени 3 D, F и G образуют треугольник, а C соединена из этой тройки только с G.
В таблице то же самое. По две дороги у пунктов 2, 4 и 7; дорога 2—4 есть, а пункт 7 не соединён ни с 2, ни с 4 — значит, E ↔ 7. По три дороги у 1, 3, 5 и 6; пункты 3, 5, 6 соединены попарно, а 1 из них соединён только с 5 — значит, C ↔ 1 и G ↔ 5.
Полный пример
Найдём сумму длин дорог A—C и D—G в этом примере.
Первые номера подсказали связи соседей, а дальше всё как в прошлой подтеме: от найденных пунктов — к их соседям. Пролистай решение по шагам:
- Подпишем степени. По две дороги у A, B, E и у пунктов 2, 4, 7, по три — у C, D, F, G и у пунктов 1, 3, 5, 6. Единственных степеней нет — придётся смотреть на связи.
- Из пунктов степени 2 только E не соединена с другим пунктом степени 2: A и B соединены друг с другом. В таблице так стоит пункт 7 — дорога 2—4 есть, а 7 не соединён ни с 2, ни с 4. E ↔ 7.
- C — пункт степени 3 вне треугольника D, F, G. В таблице треугольник образуют 3, 5, 6, а вне его остаётся 1. C ↔ 1.
- G — сосед C из треугольника. Пункт 1 соединён из 3, 5, 6 только с 5. G ↔ 5.
- A — сосед C степени 2. С пунктом 1 соединён пункт 4, у которого две дороги. A ↔ 4.
- B — второй сосед A. Пункт 4 соединён с 1 и 2, номер 1 уже у C. B ↔ 2.
- F — сосед B из треугольника. Пункт 2 соединён с 3. F ↔ 3.
- D получает последний номер 6. Проверка: 6 соединён с 3, 5, 7, как D — с F, G, E.
Дорога A—C — это 4—1, 9 км, дорога D—G — это 6—5, 8 км. Ответ: 9 + 8 = 17.
Тонкости:если признаки кончились — предположи и проверь
Бывает, что для буквы осталось два номера, а признака, который сразу выбирает один, не видно. Тогда один номер предполагают и проверяют дороги к уже найденным пунктам. Если какой-то дороги нет, предположение неверно, и вместе с ним отменяют все выводы из него. Вот как это выглядит для A, если бы для неё остались номера 2 и 4:
- Найдены C ↔ 1, E ↔ 7, G ↔ 5. Для A остались номера 2 и 4.
- Пусть A ↔ 2. На схеме есть дорога A—C, а C ↔ 1: в таблице должна быть дорога 2—1.
- Клетка строки 2, столбца 1 пустая: дороги нет. Предположение дало противоречие, A ↔ 2 невозможно.
- Остаётся A ↔ 4, и дорога 4—1 в таблице есть. Это не выбор «наугад», а единственный вариант, который не противоречит дорогам.
На черновике различай записи: доказано «C ↔ 1», кандидаты «A: 2 или 4», предположение «пусть A ↔ 2».
Итого
- Степени совпалисмотри на соседей пункта
- Степени соседейу буквы и её номера одинаковые
- Треугольниктри пункта попарно соединены; у номеров — тоже
- Дальшеот найденных пунктов к их соседям
- Предположениепроверь дороги к найденным; противоречие — отмени
- Задача темыF ↔ 1, D ↔ 5; B и E — пока 3 или 4
Проверьте себя
Ответь сначала сам, потом открой ответ.
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
Практика
Для проверки ответов нужен JavaScript. Условия, подсказки и решения доступны ниже.
Длина дороги Б—В
На рисунке схема дорог, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах). Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Определи длину дороги из пункта Б в пункт В.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 11 | 8 | 5 | |||
| 2 | 9 | 17 | ||||
| 3 | 11 | 9 | 12 | |||
| 4 | 8 | 14 | ||||
| 5 | 12 | |||||
| 6 | 5 | 17 | 14 |
Введите число.
Подсказка
Степени совпали — сравни степени соседей.
Решение
По три дороги у Б, В и Г, но соседи у них разные: у Б — соседи со степенями 2, 3, 3, у В — 2, 2, 3, у Г — 1, 2, 3. В таблице по три дороги у пунктов 1, 3 и 6: у пункта 1 соседи со степенями 2, 3, 3 — это Б; у пункта 6 — 2, 2, 3 — это В. Дорога 1—6 — 5 км.
Ответ: 5
Номер пункта Г
На рисунке схема дорог, звёздочка в таблице означает, что между пунктами есть дорога. Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Определи номер пункта Г.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | * | * | ||||
| 2 | * | * | ||||
| 3 | * | * | * | |||
| 4 | * | |||||
| 5 | * | * | * | |||
| 6 | * | * | * |
Введите число.
Подсказка
Найди пункт, у которого есть сосед степени 1.
Решение
Б и Г — единственные пункты степени 2, и у обоих оба соседа — пункты степени 3. Но Г соединён с Д — единственным пунктом степени 3, у которого есть сосед с одной дорогой. В таблице такой пункт — 3: его сосед 4 соединён только с ним. Из пунктов степени 2 с пунктом 3 соединён только 1: Г ↔ 1.
Ответ: 1
Тройка пунктов одной степени
На схеме у всех восьми пунктов по три дороги, звёздочка в таблице означает, что между пунктами есть дорога. Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Найди номера пунктов A, B и C и запиши их в порядке возрастания без разделителей.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | * | * | * | |||||
| 2 | * | * | * | |||||
| 3 | * | * | * | |||||
| 4 | * | * | * | |||||
| 5 | * | * | * | |||||
| 6 | * | * | * | |||||
| 7 | * | * | * | |||||
| 8 | * | * | * |
Введите номера трёх пунктов подряд, без пробелов, в порядке возрастания.
Подсказка
Степени одинаковы у всех — ищи треугольник.
Решение
У всех пунктов по три дороги, и у всех соседей тоже по три — по степеням ничего не различить. Но A, B, C — единственный треугольник схемы: каждые два из них соединены. В таблице единственный треугольник образуют пункты 2, 4 и 7.
Ответ: 247
Число треугольников
Сколько треугольников в схеме с дорогами 1—2, 1—3, 2—3, 2—4, 3—4, 4—5? Перечисли их.
Введите число.
Подсказка
Треугольник — три пункта, попарно соединённые дорогами.
Решение
Два треугольника: 1—2—3 и 2—3—4.
Ответ: 2
Номер пункта Ж
На рисунке схема дорог, звёздочка в таблице означает, что между пунктами есть дорога. Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Определи номер пункта Ж.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | * | * | |||||
| 2 | * | * | |||||
| 3 | * | * | * | * | |||
| 4 | * | * | * | ||||
| 5 | * | * | |||||
| 6 | * | * | * | ||||
| 7 | * | * |
Введите число.
Подсказка
Степени соседей совпали — проверь, кто входит в треугольник.
Решение
Д и Ж — пункты степени 3, и у обоих соседи со степенями 2, 2, 4. Но Д входит в треугольник АДЕ, а Ж — ни в один. В таблице по три дороги у 4 и 6; у пункта 6 соседи 1, 2, 3, и дорога 2—3 есть — треугольник; у пункта 4 соседи 1, 3, 7 попарно не соединены. Значит, Ж ↔ 4.
Ответ: 4
Длина дороги А—Д: треугольник
На рисунке схема дорог, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах). Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Определи длину дороги из пункта А в пункт Д.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 10 | 6 | 11 | |||
| 2 | 8 | 12 | |||||
| 3 | 10 | 15 | 7 | ||||
| 4 | 12 | 15 | 13 | ||||
| 5 | 6 | 9 | |||||
| 6 | 11 | 7 | 9 | ||||
| 7 | 13 |
Введите число.
Подсказка
У А и Б одинаковы степень и степени соседей, но только один входит в треугольник.
Решение
Д — единственный пункт степени 4, это 1. У А и Б по две дороги, их соседи — степеней 3 и 4; но А входит в треугольник АДЕ, а Б — нет. Из пунктов степени 2 (2 и 5) в треугольник входит 5: его соседи 1 и 6 соединены. А ↔ 5, дорога 5—1 — 6 км.
Ответ: 6
Сумма дорог Е—Б и Д—В
На рисунке схема дорог изображена в виде графа, в таблице — протяжённость каждой из этих дорог (в километрах). Нумерация пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на схеме. Определи сумму протяжённостей дорог из пункта Е в пункт Б и из пункта Д в пункт В.
| Пункт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 16 | 20 | 29 | ||||
| 2 | 16 | 21 | 26 | ||||
| 3 | 17 | 18 | |||||
| 4 | 20 | 21 | 17 | ||||
| 5 | 26 | 18 | 10 | ||||
| 6 | 29 | 28 | |||||
| 7 | 10 | 28 |
Введите число.
Подсказка
Единственных степеней нет: посмотри, какие пункты степени 2 соединены друг с другом.
Решение
Из пунктов степени 2 только Е не соединён с другим пунктом степени 2 — в таблице это 3. Соседи Е — Б и Ж, у пункта 3 — 4 и 5. Б соединён ещё с Д степени 2, а Ж — нет; у пункта 5 есть сосед 7 степени 2, значит, Б ↔ 5, Ж ↔ 4. Д — сосед Б степени 2: Д ↔ 7, тогда В ↔ 6. Е—Б — дорога 3—5, 18 км; Д—В — дорога 7—6, 28 км; 18 + 28 = 46.
Ответ: 46