Подтема 6 из 6 · дополнительный урок
Треугольник, MAX и условия с A
Незнакомые условия в формуле: существование треугольника, большее из двух чисел, отрезок и делимость, которые зависят от самого A.
Треугольник существует
Что делать, если в формуле встречается незнакомое условие — например, «треугольник со сторонами x, 4 и 7 существует»?
Незнакомое условие сначала переводят в знакомые неравенства по его определению, а дальше решают как обычно: ищут x, при которых всё решает A.
Треугольник со сторонами a, b, c существует, когда каждая сторона меньше суммы двух других: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Для сторон x, 4 и 7 получаем x < 11, 4 < x + 7 (верно всегда) и 7 < x + 4, то есть x > 3. Для натуральных x — от 4 до 10.
Неравенства строгие: при x = 3 стороны 3 и 4 вместе дают ровно 7 и складываются в отрезок — треугольника нет.
Пусть T(x, 4, 7) — «треугольник со сторонами x, 4, 7 существует», и нужно наименьшее натуральное A, при котором T(x, 4, 7) → (x < A) тождественно истинна. Всё решает A при x от 4 до 10: каждое должно быть меньше A. Наименьшее A = 11.
MAX
Как быть с MAX(x, 8) — большим из двух чисел?
MAX разбирают на два случая: какое из чисел больше. MAX(x, 8) равно 8, пока x ≤ 8, и равно x, когда x ≥ 8.
| x | MAX(x, 8) |
|---|---|
| 1, 2, …, 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 20 | 20 |
Пример: наименьшее целое A, при котором (MAX(x, 8) < A) ∨ (x > 20) тождественно истинна для натуральных x. Всё решает A при x ≤ 20. Самое большое значение MAX(x, 8) на них — 20, при x = 20. Нужно 20 < A, наименьшее A = 21.
Если бы A решало только при x ≤ 7, MAX(x, 8) там всегда равнялся бы 8, и ответ был бы 9.
Отрезок с концом A
Что, если A стоит в конце отрезка? Найдём наибольшее натуральное A ≤ 50, при котором (x ∈ [A; A + 5]) → ¬ДЕЛ(x, 7) тождественно истинна.
Если числа, где всё решает A, сами зависят от A, их нельзя выписать один раз. Ищут условие на само A.
Формула требует, чтобы среди шести чисел A, A + 1, …, A + 5 не было кратного 7. Из семи подряд идущих чисел ровно одно кратно 7. Шесть чисел обходят его, только если начинаются сразу после кратного: A при делении на 7 даёт остаток 1.
Подходят A = 1, 8, 15, …, 50. Наибольшее A ≤ 50 — 50 = 7 · 7 + 1: числа от 50 до 55 на 7 не делятся. А при A = 49 само 49 кратно 7.
Делители самого A
Найдём наибольшее натуральное A ≤ 100, при котором (ДЕЛ(A, x) ∧ ДЕЛ(x, 2)) → ДЕЛ(60, x) тождественно истинна.
Бывает, что при некоторых A чисел, где всё решает A, нет вовсе — тогда такое A подходит сразу.
Всё решает A при чётных делителях A, которые не делят 60. Если A чётное, то само A — свой чётный делитель, поэтому A должно делить 60, и наибольшее такое A — 60.
Но у нечётного A чётных делителей нет совсем: левая часть всегда ложна, и формула истинна при любом x. Наибольшее нечётное A ≤ 100 — 99. Ответ — 99, а не 60.
Итого
- Новое условиеперевести в неравенства по определению
- Треугольниккаждая сторона меньше суммы двух других
- MAX(x, c)c при x ≤ c, x при x ≥ c
- Числа зависят от Aнайти условие на само A
- Таких чисел нетформула истинна при любом x
Проверьте себя
Ответь сначала сам, потом открой ответ.
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
Практика
Для проверки ответов нужен JavaScript. Условия, подсказки и решения доступны ниже.
Треугольник со сторонами 3 и 8
Обозначим через T(a, b, c) утверждение «существует невырожденный треугольник со сторонами a, b, c». Для какого наибольшего целого числа A формула ¬T(x, 3, 8) ∨ (x > A) тождественно истинна при любом натуральном x?
Введите число.
Подсказка
Выпиши x, при которых треугольник со сторонами x, 3, 8 существует.
Решение
Треугольник существует при 8 − 3 < x < 8 + 3, то есть x от 6 до 10. При них нужно x > A, самый трудный — x = 6: A < 6, наибольшее A = 5.
def T(a, b, c): return a < b + c and b < a + c and c < a + b answer = Nonefor A in range(-100, 100): if all(not T(x, 3, 8) or x > A for x in range(1, 100)): answer = Aprint(answer)Ответ: 5
MAX(x, 12) < A
Обозначим через MAX(a, b) большее из чисел a и b. Для какого наименьшего целого числа A формула (MAX(x, 12) < A) ∨ (x ≥ 30) тождественно истинна при любом натуральном x?
Введите число.
Подсказка
Всё решает A при x ≤ 29. Найди там самое большое MAX(x, 12).
Решение
При x ≥ 30 формула истинна сама. При x от 1 до 29 нужно MAX(x, 12) < A. Самое большое значение — 29 при x = 29. Нужно 29 < A, наименьшее A = 30.
def f(x, A): return max(x, 12) < A or x >= 30 for A in range(-100, 1000): if all(f(x, A) for x in range(1, 1000)): print(A) breakОтвет: 30
MAX(x, y) ≤ 6
Обозначим через MAX(a, b) большее из чисел a и b. Для какого наименьшего целого числа A формула (MAX(x, y) ≤ 6) → (x + y < A) тождественно истинна при любых натуральных x и y?
Введите число.
Подсказка
MAX(x, y) ≤ 6 значит: и x ≤ 6, и y ≤ 6.
Решение
Всё решает A, когда оба числа не больше 6. Самая большая сумма — 6 + 6 = 12. Нужно 12 < A, наименьшее A = 13.
def imp(p, q): return (not p) or q def f(x, y, A): return imp(max(x, y) <= 6, x + y < A) for A in range(-100, 1000): if all(f(x, y, A) for x in range(1, 100) for y in range(1, 100)): print(A) breakОтвет: 13
Отрезок без кратных 6
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A, не превосходящего 40, формула (x ∈ [A; A + 4]) → ¬ДЕЛ(x, 6) тождественно истинна при любом натуральном x?
Введите число.
Подсказка
Пять чисел подряд обходят кратное 6, только если начинаются сразу после него.
Решение
Среди чисел A, …, A + 4 не должно быть кратного 6. Из шести чисел подряд одно кратно 6, поэтому пять обходят его, только если A при делении на 6 даёт остаток 1: A = 1, 7, …, 37. Наибольшее A ≤ 40 — 37: числа от 37 до 41 на 6 не делятся.
def imp(p, q): return (not p) or q def f(x, A): return imp(A <= x <= A + 4, x % 6 != 0) answer = Nonefor A in range(1, 41): if all(f(x, A) for x in range(1, 100)): answer = Aprint(answer)Ответ: 37
Наибольшее A ≤ 200
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A, не превосходящего 200, формула (ДЕЛ(A, x) ∧ ДЕЛ(x, 3)) → ДЕЛ(90, x) тождественно истинна при любом натуральном x?
Введите число.
Подсказка
Если у A нет делителей, кратных 3, формула истинна при любом x.
Решение
Всё решает A при делителях A, кратных 3, которые не делят 90. У 200 = 2³ · 5² делителей, кратных 3, нет вовсе — левая часть всегда ложна, и формула истинна. Значит, подходит само 200.
def imp(p, q): return (not p) or q def f(x, A): return imp(A % x == 0 and x % 3 == 0, 90 % x == 0) answer = Nonefor A in range(1, 201): if all(f(x, A) for x in range(1, 1000)): answer = Aprint(answer)Ответ: 200