Тройка как стороны треугольника

Дополнительный урок — для продвинутых. Изредка в задании 17 спрашивают тройки, которые могут быть сторонами треугольника. Задачи основных подтем решаются без него.

Например: «определите количество троек, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника, затем максимальную из сумм элементов таких троек». Перебор троек и ответ — те же, что в задаче темы, меняется только проверка. Её разберём на тройках 3, 4, 5; 2, 3, 4 и 1, 2, 3 — стороны, которые легко нарисовать.

Из любых ли трёх чисел можно сложить треугольник?

Нет. Упорядочим стороны: p ≤ q ≤ r. Треугольник есть, только если две меньшие стороны вместе длиннее большей: p + q > r. Положим две меньшие стороны вдоль большей:

Остальные две проверки — p + r > q и q + r > p — после сортировки выполняются сами: к стороне прибавляют самую длинную, и сумма заведомо больше. Поэтому тройку сначала сортируют, а потом проверяют одно неравенство.

Как узнать, прямоугольный треугольник, остроугольный или тупоугольный?

Сравни сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей. Равенство — это теорема Пифагора, прямой угол. Если сумма больше, все углы острые, если меньше — угол напротив большей стороны тупой:

прямоугольный

p² + q² = r²3, 4, 5: 9 + 16 = 25

остроугольный

p² + q² > r²4, 5, 6: 16 + 25 = 41 > 36

тупоугольный

p² + q² < r²2, 3, 4: 4 + 9 = 13 < 16

Проверим все случаи программой — сначала существование, потом вид:

for t in [[3, 4, 5], [4, 5, 6], [2, 3, 4], [1, 2, 3]]:    p, q, r = sorted(t)    if not (p > 0 and p + q > r):        print(t, "треугольника нет")    elif p ** 2 + q ** 2 == r ** 2:        print(t, "прямоугольный")    elif p ** 2 + q ** 2 > r ** 2:        print(t, "остроугольный")    else:        print(t, "тупоугольный")

Зачем проверять существование, если равенство Пифагора уже выполнено?

Равенство выполняется и у троек, из которых треугольник не сложить. Например, 0, 5, 5: 0² + 5² = 5², но стороны длины ноль не бывает. Такую тройку отсекает неравенство: 0 + 5 = 5, а не больше. Пусть по условию, если подходящих троек нет, нужно вывести 0 0:

a = [5, 12, 13, 0, 5, 5]sums = []for i in range(len(a) - 2):    p, q, r = sorted([a[i], a[i + 1], a[i + 2]])    is_triangle = p > 0 and p + q > r    is_right = p ** 2 + q ** 2 == r ** 2    if is_triangle and is_right:        sums.append(p + q + r)if len(sums) == 0:    print(0, 0)else:    print(len(sums), max(sums))

Подходит только 5, 12, 13. У последней тройки 0, 5, 5 равенство выполнено, но is_triangle ложно — без этой проверки программа вывела бы 2 30.

• Сортировкаp, q, r = sorted(t): p ≤ q ≤ r
• Существованиеp + q > r — две другие проверки выполняются сами
• Прямоугольныйp² + q² = r²
• Остроугольныйp² + q² > r²
• Тупоугольныйp² + q² < r²
• 0, 5, 5равенство Пифагора без проверки существования ошибается