Числа в системе счисления

Сколько существует четырёхзначных чисел в шестеричной системе?

Запись числа — слово из цифр, но первая цифра не может быть нулём. В системе с основанием q цифры — 0, 1, …, q − 1. Код может начинаться с нуля (007), а запись трёхзначного числа — нет: начальный ноль не добавляет разряд.

Поэтому четырёхзначных шестеричных чисел 5 · 6³ = 1080: на первое место — пять ненулевых цифр, на остальные — все шесть.

Цифры удобно перебирать числами: product(range(q), repeat=n). Тогда «цифра больше 12» — это d > 12, а «цифра D» в шестнадцатеричной системе — значение 13.

from itertools import product count = 0for digits in product(range(6), repeat=4):    if digits[0] != 0:        count += 1print(count)

print('2' + '3', int('2') + int('3'))print(int('1032', 6), int('D', 16), int('A0', 16))

Если цифры не повторяются, начальный ноль всё равно исключают отдельно. Четырёхзначных шестеричных чисел с различными цифрами 5 · 5 · 4 · 3 = 300: первая — любая, кроме нуля; вторая — любая, кроме первой, ноль уже можно.

from itertools import permutations count = 0for digits in permutations(range(6), 4):    if digits[0] != 0:        count += 1print(count)

При строгом убывании набор цифр выстраивается единственным способом, поэтому чисел столько же, сколько наборов.

Четырёхзначных шестеричных чисел со строго убывающими цифрами — C₆⁴ = 15: ноль окажется последним. При строгом возрастании ноль встал бы первым, поэтому цифры берут из 1–5: C₅⁴ = 5.

from itertools import product down = 0up = 0for d in product(range(6), repeat=4):    if d[0] != 0 and d[0] > d[1] > d[2] > d[3]:        down += 1    if d[0] != 0 and d[0] < d[1] < d[2] < d[3]:        up += 1print(down, up)

Ноль — чётная цифра, а чётность цифры и чётность числа — разное. Условие о чётных цифрах проверяют по каждой цифре: d % 2 == 0.

Чётность всего числа при чётном основании решает последняя цифра, а при нечётном — сумма цифр. Например, 12₃ = 5: последняя цифра чётная, а число нечётное.

Если чётные и нечётные цифры чередуются, считают по двум схемам. Четырёхзначные шестеричные числа с различными цифрами: схема «чётная, нечётная, …» — 2 · 3 · 2 · 2 = 24 (первая чётная не ноль), схема «нечётная, чётная, …» — 3 · 3 · 2 · 2 = 36. Всего 60.

from itertools import permutations count = 0for digits in permutations(range(6), 4):    if digits[0] != 0:        good = True        for i in range(3):            if digits[i] % 2 == digits[i + 1] % 2:                good = False                break        if good:            count += 1print(count)

Условие «рядом с цифрой 5 нет нечётных» проверяют по соседям этой цифры. Позицию даёт d.index(5), соседи — позиции i - 1 и i + 1, если они есть. Пройди проверку числа 2501₆ по шагам:

d = (2, 5, 0, 1)i = d.index(5)good = Truefor j in (i - 1, i + 1):    if 0 <= j < 4 and d[j] % 2 == 1:        good = Falseprint(good)

Посчитаем четырёхзначные шестеричные числа с ровно одной цифрой 5, рядом с которой только чётные:

from itertools import product count = 0for d in product(range(6), repeat=4):    if d[0] == 0 or d.count(5) != 1:        continue    i = d.index(5)    good = True    for j in (i - 1, i + 1):        if 0 <= j < 4 and d[j] % 2 == 1:            good = False    if good:        count += 1print(count)

continue сразу переходит к следующему числу, если первая цифра ноль или пятёрок не одна. Проверка 0 <= j < 4 отбрасывает несуществующих соседей у крайней цифры.

• n-значных чисел(q − 1) · qⁿ⁻¹: первая цифра не ноль
• Переборproduct(range(q), repeat=n), цифры — числа
• Строгий порядокчисел столько, сколько наборов цифр
• Чётность числачётное основание — последняя цифра, нечётное — сумма
• Соседи цифрыпозиции i − 1 и i + 1, если есть