Позиционные системы счисления

В задании 14 огромное число записывают в другой системе счисления и спрашивают что-то о его цифрах. Вот задача, которую мы будем решать всю тему:

«Значение арифметического выражения 5²³ + 25¹² − 10 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр 4 содержится в этой записи?»

Переводить такое число вручную не нужно: его запись можно понять по тому, как оно составлено, или посчитать программой. Сначала разберём, что сказано в условии:

Тема состоит из шести подтем — у каждой своя страница. Идём по ним по порядку:

1. Запись числа и её значение — ты сейчас здесь.
2. Запись суммы и разности степеней — как выглядят степени основания, и ответ задачи вручную: 21.
3. Цифры значения выражения программой — тот же ответ программой; так решают любую задачу на подсчёт цифр.
4. Выражение с параметром x — вместо 10 вычитают неизвестное x.
5. Неизвестные цифры — неизвестная цифра x стоит в самой записи.
6. Неизвестное основание и признаки делимости — дополнительный урок для редких задач.

Почти везде задачу можно решить и вручную, и программой — выбирай вкладку «Вручную» или «Python». На экзамене подойдёт любой способ, а второй пригодится для проверки.

Какое число скрывается за записью 2304₅? Маленькое число снизу — основание системы, здесь 5.

Каждую цифру умножают на вес её места и всё складывают. Веса справа налево: 1, q, q², q³, … В десятичной системе так же: 507 = 5 · 100 + 0 · 10 + 7 · 1.

В Python то же самое делает int(запись, основание):

print(int('2304', 5))

Цифр в системе ровно q: от 0 до q − 1. Цифры «5» в пятеричной системе нет — после 4 идёт уже 10₅, то есть одна пятёрка и ноль единиц. Поэтому запись 10 в любой системе означает её основание: 10₅ = 5, 10₂ = 2.

А как записать цифру «десять», если основание больше десяти?

Цифры больше 9 обозначают латинскими буквами: A = 10, B = 11, C = 12, … Каждая буква — это одна цифра. В шестнадцатеричной записи 1A3₁₆ три цифры: 1, десять и 3.

По записи можно оценить основание: оно больше самой большой цифры. В записи 372 есть цифра 7 — значит, основание не меньше 8; в 2B4 есть B = 11 — не меньше 12.

Теперь наоборот: как записать число 329 в пятеричной системе?

Остаток от деления на q — последняя цифра записи, а целая часть частного — запись без этой цифры. 329 = 5 · 65 + 4: запись оканчивается на 4, а остальные её цифры — запись числа 65. Делим дальше, пока частное не станет нулём: каждое деление даёт ещё одну цифру, справа налево.

Остатки 4, 0, 3, 2, прочитанные снизу вверх, — запись 2304₅. В Python остаток и целую часть частного дают % и //:

print(329 % 5, 329 // 5)

• Значение записисумма цифр, умноженных на веса 1, q, q², …
• Цифрыот 0 до q − 1; 10 в системе q — это q
• БуквыA = 10, B = 11, …; буква — одна цифра
• Основаниебольше наибольшей цифры записи
• Запись делениемостатки — цифры справа налево
• Pythonint(s, q), n % q, n // q