Подтема 3 из 6
Две фигуры
Пересечение и объединение двух фигур — и ответ задачи темы.
Пересечение
Вернёмся к задаче темы. Фигуры: A — 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 6 и B — 3 ≤ x ≤ 10, 2 ≤ y ≤ 7. Нужны точки их пересечения вместе с границей.
Пересечение — общая часть фигур: точка входит в него, если лежит в обеих. По x точка должна удовлетворять сразу 0 ≤ x ≤ 8 и 3 ≤ x ≤ 10, то есть 3 ≤ x ≤ 8; по y — 2 ≤ y ≤ 6.
Левая граница пересечения — бо́льшая из левых границ, правая — меньшая из правых. Так же для нижней и верхней.
Значения x = 3, …, 8 — шесть, y = 2, …, 6 — пять: 6 · 5 = 30. Это ответ задачи темы.
Если бы точки на линиях не учитывали, остались бы x = 4, …, 7 и y = 3, …, 5: 4 · 3 = 12. Площадь пересечения 5 · 4 = 20, периметр 2 · (5 + 4) = 18.
Тонкости:пересечение в общем виде
Для прямоугольников x₁ ≤ x ≤ x₂, y₁ ≤ y ≤ y₂ и u₁ ≤ x ≤ u₂, v₁ ≤ y ≤ v₂ пересечение — max(x₁, u₁) ≤ x ≤ min(x₂, u₂), max(y₁, v₁) ≤ y ≤ min(y₂, v₂). Если левая граница вышла больше правой (или нижняя больше верхней), общих точек нет.
Объединение
Объединение — точки, которые лежат хотя бы в одной фигуре. При сложении общие точки посчитаны дважды, поэтому их вычитают один раз.
С границами в A 9 · 7 = 63 точки, в B 8 · 6 = 48, общих 30. В объединении 63 + 48 − 30 = 81.
Площадь объединения считают так же: 48 + 35 − 20 = 63.
В одной, но не в другой
Каждая формулировка выбирает свою часть, но все строятся из трёх чисел: точек A, точек B и общих точек. Для фигур задачи темы с границами:
| В условии | Какие точки | Расчёт |
|---|---|---|
| в пересечении | в обеих | 30 |
| в объединении | хотя бы в одной | 63 + 48 − 30 = 81 |
| в A, но не в B | в A без общих | 63 − 30 = 33 |
| ровно в одной | в объединении без общих | 81 − 30 = 51 |
Все три числа берут по одному правилу о границе: нельзя точки A считать с границей, а общие — строго внутри.
Касание
Фигуры, которые касаются стороной, имеют общие точки, хотя площадь пересечения равна нулю.
Прямоугольники 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 и 3 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2 соприкасаются по отрезку x = 3, 0 ≤ y ≤ 2. На нём три целые точки: (3; 0), (3; 1), (3; 2). Если точки на линиях учитывают, пересечение содержит 3 точки; если нет — ни одной.
Фигура из двух частей
Фигуру со «ступенькой» разрезают на прямоугольники, а точки на линии разреза проверяют отдельно.
«Вперёд 6 Направо 90 Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 3 Налево 90 Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 6» из (0; 0) вверх рисует букву Г: высокую часть 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 6 и низкую 3 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 3.
Строго внутри высокой части 2 · 5 = 10 точек, внутри низкой 2 · 2 = 4. Но линия разреза x = 3 при 0 < y < 3 не нарисована — она проходит внутри фигуры, и её точки (3; 1), (3; 2) тоже внутренние. Всего 10 + 4 + 2 = 16.
Площадь — сумма частей: 3 · 6 + 3 · 3 = 27. Периметр — сумма нарисованных сторон: 6 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 24; линия разреза в него не входит.
Итого
- Пересечениев обеих фигурах; границы — max левых, min правых
- Объединениеточки A + точки B − общие точки
- A, но не Bточки A − общие точки
- Касаниеплощадь 0, а общие точки есть
- Разрезточки ненарисованной линии разреза — внутри фигуры
Проверьте себя
Ответь сначала сам, потом открой ответ.
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
ОтветСкрыть ответ
Практика
Для проверки ответов нужен JavaScript. Условия, подсказки и решения доступны ниже.
Пересечение двух прямоугольников
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 2 [Вперёд 9 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90]Поднять хвостВперёд 3 Направо 90 Вперёд 4 Налево 90Опустить хвостПовтори 2 [Вперёд 8 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90]В начальный момент Черепаха находится в начале координат, голова направлена вверх. Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри пересечения областей, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
Введите число.
Подсказка
Найди точку, где опустится хвост: оттуда начнётся вторая фигура.
Решение
Первая фигура — 0 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 9. Переход с поднятым хвостом ведёт в (4; 3), и вторая фигура — 4 ≤ x ≤ 10, 3 ≤ y ≤ 11. Пересечение 4 ≤ x ≤ 7, 3 ≤ y ≤ 9: 4 значения x и 7 значений y, 4 · 7 = 28.
Ответ: 28
Пересечение прямоугольников
Прямоугольники −2 ≤ x ≤ 5, −1 ≤ y ≤ 4 и 1 ≤ x ≤ 7, 2 ≤ y ≤ 6. Сколько целочисленных точек лежит в их пересечении, если точки на сторонах учитывать?
Введите число.
Подсказка
Левая граница пересечения — бо́льшая из левых, правая — меньшая из правых.
Решение
Пересечение 1 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 4: 5 значений x и 3 значения y, 5 · 3 = 15.
Ответ: 15
Объединение с границами
Прямоугольники 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3 и 2 ≤ x ≤ 6, 1 ≤ y ≤ 4. Сколько различных целочисленных точек принадлежит хотя бы одному из них, если точки на сторонах учитывать?
Введите число.
Подсказка
При сложении общие точки посчитаны дважды.
Решение
В каждом прямоугольнике 5 · 4 = 20 точек. Пересечение 2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 3 — 3 · 3 = 9 точек. В объединении 20 + 20 − 9 = 31.
Ответ: 31
Объединение двух прямоугольников
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 2 [Вперёд 9 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90]Поднять хвостВперёд 3 Направо 90 Вперёд 4 Налево 90Опустить хвостПовтори 2 [Вперёд 8 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90]В начальный момент Черепаха находится в начале координат, голова направлена вверх. Определи, сколько точек с целочисленными координатами принадлежит объединению областей, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
Введите число.
Подсказка
Сложи точки двух фигур и вычти общие.
Решение
В первой фигуре 0 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 9 — 8 · 10 = 80 точек, во второй 4 ≤ x ≤ 10, 3 ≤ y ≤ 11 — 7 · 9 = 63, общих 28. В объединении 80 + 63 − 28 = 115.
Ответ: 115
Строго внутри хотя бы одного
Прямоугольники A: 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 6 и B: 3 ≤ x ≤ 10, 2 ≤ y ≤ 7. Сколько целочисленных точек лежит строго внутри хотя бы одного из них?
Введите число.
Подсказка
Посчитай точки строго внутри каждого прямоугольника и вычти точки строго внутри обоих.
Решение
Строго внутри A — 7 · 5 = 35 точек, строго внутри B — 6 · 4 = 24. Строго внутри обоих: 4 ≤ x ≤ 7, 3 ≤ y ≤ 5 — 4 · 3 = 12. Всего 35 + 24 − 12 = 47.
Ответ: 47
Точки A без B
Прямоугольники A: 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 6 и B: 4 ≤ x ≤ 12, 2 ≤ y ≤ 9. Сколько целочисленных точек принадлежит A и не принадлежит B, если точки на сторонах учитывать?
Введите число.
Подсказка
Из точек A вычти общие точки.
Решение
В A 11 · 7 = 77 точек. Пересечение 4 ≤ x ≤ 10, 2 ≤ y ≤ 6 — 7 · 5 = 35 точек. В A, но не в B: 77 − 35 = 42.
Ответ: 42
Прямоугольники касаются стороной
Прямоугольники 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 и 3 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2. Сколько у них общих целочисленных точек, если точки на сторонах учитывать?
Введите число.
Подсказка
Прямоугольники касаются по стороне: площади у общей части нет, а точки на ней есть.
Решение
Общая часть — отрезок x = 3, 0 ≤ y ≤ 2. На нём точки (3; 0), (3; 1), (3; 2).
Ответ: 3
Невыпуклая фигура
Черепаха находится в начале координат, голова направлена вверх. Ей дали алгоритм «Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 2 Направо 90 Вперёд 2 Налево 90 Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 2 Направо 90 Вперёд 5». Определи, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной линией. Точки на линии учитывать не следует.
Введите число.
Подсказка
Разрежь фигуру на прямоугольники и проверь точки на линии разреза.
Решение
Фигура состоит из высокой части 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 и низкой 2 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2. Строго внутри высокой — (1; 1), (1; 2), (1; 3), внутри низкой — (3; 1), (4; 1). Линия разреза x = 2 не нарисована, поэтому точка (2; 1) тоже внутри. Всего 6.
Ответ: 6