Сумма, наибольшее и наименьшее

В каких строках учебной таблицы сумма двух наибольших чисел не больше суммы остальных?

Числа по величине берут из упорядоченной копии строки: последнее — наибольшее, предпоследнее — второе по величине. Повторы при этом сохраняются: у строки 9, 3, 9, 5 упорядоченная копия 3, 5, 9, 9, и второе по величине — тоже 9, а не 5.

В пятой строке 3, 3, 4, 5, 7, 8 два наибольших — 8 и 7, их сумма 15, а сумма остальных 3 + 3 + 4 + 5 = 15: «не больше» выполнено. В шестой 26 + 24 = 50 и 7 + 7 + 20 + 22 = 56 — тоже подходит. В остальных строках два наибольших больше: в первой 11 + 9 = 20 > 16. Ответ — 2 строки.

a = [3, 3, 4, 5, 7, 8]b = sorted(a)print(b)print(b[-1] + b[-2], sum(a) - b[-1] - b[-2])

a = [9, 3, 9, 5]b = sorted(a)print(a, b)print(b[-1], b[-2], b[0], b[1])

Сумму остальных получают вычитанием: без наибольшего — S − M, без наименьшего и наибольшего — S − m − M. Здесь S — сумма строки, m — наименьшее, M — наибольшее число. Условие «наибольшее число меньше суммы остальных» — это M < S − M.

При повторах вычитание убирает одно наименьшее и одно наибольшее число. Для строки 2, 2, 5, 9, 9: S = 27, S − m − M = 27 − 2 − 9 = 16 — это 2 + 5 + 9. Убрать все двойки и девятки — другая операция, останется только 5.

a = [2, 2, 5, 9, 9]print(sum(a) - max(a), sum(a) - min(a) - max(a))print(max(a) < sum(a) - max(a))

for a in [[4, 6, 10], [7, 4, 5], [5, 3, 4]]:    b = sorted(a)    d = b[0] ** 2 + b[1] ** 2 - b[2] ** 2    print(b, sum(a) > 2 * max(a), d)

Можно ли числа 7, 3, 8, 4 разбить на две пары с равными суммами?

Четыре числа разбиваются на две пары с равными суммами, только если после упорядочивания сумма крайних равна сумме средних. Упорядочим: 3, 4, 7, 8. Крайние 3 + 8 = 11, средние 4 + 7 = 11 — можно.

Упорядоченная строка помогает и с арифметической прогрессией — числами с равными разностями соседей, как 2, 5, 8, 11. Если в условии сказано «после упорядочивания образуют прогрессию», сравнивают разности соседей упорядоченной копии.

for a in [[7, 3, 8, 4], [1, 2, 3, 8]]:    b = sorted(a)    print(b, b[0] + b[3] == b[1] + b[2])

Квадрат суммы и сумма квадратов — разные числа: сначала сложить и возвести в квадрат или возвести каждое и сложить. (3 + 5)² = 64, а 3² + 5² = 34.

Условие «квадрат суммы наименьшего и наибольшего больше суммы квадратов остальных» — это (m + M)² > Q − m² − M², где Q — сумма квадратов всей строки.

a = [2, 5, 7, 10]q = sum([x ** 2 for x in a])print(sum(a) ** 2, q, q - min(a) ** 2 - max(a) ** 2)

Вторая проверка задачи темы: среднее неповторяющихся больше суммы повторяющихся. Как записать её без деления?

Среднее сравнивают без деления: обе части неравенства умножают на количество чисел. Неповторяющихся чисел в подходящей строке ровно четыре. Если их сумма O, а сумма пары P, то O / 4 > P — то же, что O > 4P. Для пятой строки 24 > 4 · 6 = 24 неверно — тот же ответ, что и с делением, но без дробей.

Два средних сравнивают так же: S₁ / k₁ > S₂ / k₂ — то же, что S₁ · k₂ > S₂ · k₁. Например, среднее двух чисел с суммой 18 и среднее трёх чисел с суммой 24: 18 · 3 = 54 > 24 · 2 = 48, первое больше. Просто сравнивать суммы можно, только если чисел в группах поровну. И обе группы должны быть непустыми: у пустой группы среднего нет.

single = [4, 5, 7, 8]pair = [3, 3]print(sum(single) / len(single), sum(pair))print(sum(single) > len(single) * sum(pair))

В таблице то же сравнение — =M1>4*N1, если в M1 сумма неповторяющихся, а в N1 — сумма пары (подтема 4). Скрытое среднее переводят так же: «наибольшее больше среднего пяти остальных более чем в три раза» — M > 3 · (S − M) / 5, то есть 5M > 3(S − M).

from math import isqrta = [2, 8, 4, 9, 11, 13, 12]print(sum(a) // len(a), sum(a) // len(a) in a)print([x for x in a if isqrt(x) ** 2 == x])

• По величинеsorted(a)[-2], НАИБОЛЬШИЙ(…;2) — с повторами
• Сумма остальныхS − M, S − m − M — по одному экземпляру
• Парыпосле упорядочивания a + d = b + c
• Квадраты(a + b)² ≠ a² + b²
• СредниеS₁ · k₂ > S₂ · k₁, группы непустые